Matematică • Clasele V-VIII • Numere întregi, ecuații și algebră

Sisteme de două ecuații cu două necunoscute: substituție și reducere

Cum rezolvi un sistem de două ecuații de gradul I cu două necunoscute prin metoda substituției și metoda reducerii, cu verificare și probleme rezolvate.

Clasele VII-VIII Exerciții

Pe scurt

  • Căutăm perechea (x, y) care verifică ambele ecuații.
  • Reducerea: aduni sau scazi ecuațiile ca să dispară o necunoscută.
  • Substituția: scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.

Metoda reducerii

x + y = 10
x − y = 4

Adunăm ecuațiile: 2x = 14, deci x = 7. Înlocuim: 7 + y = 10, deci y = 3.

Soluția: x = 7, y = 3. Verificare: 7 + 3 = 10 ✓, 7 − 3 = 4 ✓

Metoda substituției

2x + 3y = 12
x − y = 1

Din a doua: x = y + 1. Înlocuim în prima: 2(y + 1) + 3y = 12 → 5y + 2 = 12 → y = 2, apoi x = 3.

Verificare: 2 · 3 + 3 · 2 = 12 ✓, 3 − 2 = 1 ✓

Problemă rezolvată

Problemă

Într-o curte sunt găini și iepuri: 20 de capete și 56 de picioare. Câte găini și câți iepuri sunt?

x + y = 20  (găini + iepuri)
2x + 4y = 56  (picioare)

Înmulțim prima ecuație cu 2 și o scădem din a doua: 2y = 16, deci y = 8 iepuri și x = 12 găini.

Verificare: 12 · 2 + 8 · 4 = 24 + 32 = 56 ✓

Exerciții

0 din 6 rezolvate

Alege răspunsul corect. După fiecare răspuns vezi explicația.

1. Rezolvă: x + y = 12 și x − y = 2. Cât este x?
Explicație: 2x = 14, x = 7 (y = 5).
2. Rezolvă: x + y = 9 și x − y = 3. Cât este y?
Explicație: 2x = 12, x = 6, y = 3.
3. Rezolvă: y = 2x și x + y = 15. Cât este x?
Explicație: x + 2x = 15, x = 5.
4. Care pereche verifică sistemul x + y = 5, 2x − y = 1?
Explicație: 2 + 3 = 5 și 4 − 3 = 1.
5. Sunt 10 animale (găini și iepuri) cu 28 de picioare. Câți iepuri sunt?
Explicație: x + y = 10, 2x + 4y = 28 → 2y = 8, y = 4.
6. Ce face metoda reducerii?
Explicație: Reducem o necunoscută prin adunarea sau scăderea ecuațiilor.