Matematică • Clasele V-VIII • Puteri și divizibilitate
Divizibilitatea: divizori, multipli și criterii de divizibilitate
Divizori și multipli, notațiile a ⋮ b și b | a, criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 4, 5, 9, 10 și 25, cu exemple și exerciții.
Pe scurt
- a este divizibil cu b dacă a = b · c, cu c număr natural. Scriem a ⋮ b sau b | a.
- Cu 2: ultima cifră pară; cu 5: ultima cifră 0 sau 5; cu 10: ultima cifră 0.
- Cu 3 și 9: suma cifrelor se împarte la 3, respectiv la 9.
Divizori și multipli
Spunem că 12 este divizibil cu 3 pentru că 12 = 3 · 4. Atunci:
- 3 este un divizor al lui 12 (scriem 3 | 12);
- 12 este un multiplu al lui 3 (scriem 12 ⋮ 3).
Divizorii lui 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Multiplii lui 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... (sunt o infinitate).
De reținut
1 este divizor al oricărui număr; orice număr este divizor al lui însuși; 0 este multiplu al oricărui număr.
Criterii de divizibilitate
| Cu | Regula | Exemplu |
|---|---|---|
| 2 | ultima cifră este pară (0, 2, 4, 6, 8) | 1 358 ⋮ 2 |
| 5 | ultima cifră este 0 sau 5 | 735 ⋮ 5 |
| 10 | ultima cifră este 0 | 4 270 ⋮ 10 |
| 4 | numărul format din ultimele două cifre se împarte la 4 | 1 316 ⋮ 4 (16 ⋮ 4) |
| 25 | ultimele două cifre sunt 00, 25, 50 sau 75 | 3 475 ⋮ 25 |
| 3 | suma cifrelor se împarte la 3 | 2 316: 2 + 3 + 1 + 6 = 12 ⋮ 3 |
| 9 | suma cifrelor se împarte la 9 | 4 518: 4 + 5 + 1 + 8 = 18 ⋮ 9 |
Combinații
Un număr se împarte la 6 dacă se împarte și la 2, și la 3. Se împarte la 15 dacă se împarte și la 3, și la 5.
Exerciții
Alege răspunsul corect. După fiecare răspuns vezi explicația.
1. Este 2 316 divizibil cu 3?
Explicație: 2 + 3 + 1 + 6 = 12, care se împarte la 3.
2. Care număr este divizibil cu 9?
Explicație: 4 + 5 + 1 + 8 = 18 ⋮ 9.
3. Care număr este divizibil cu 4?
Explicație: Ultimele două cifre: 16 ⋮ 4.
4. Câți divizori are numărul 12?
Explicație: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
5. Care număr este divizibil cu 6?
Explicație: 138 este par și 1 + 3 + 8 = 12 ⋮ 3.
6. Care este cel mai mic multiplu nenul al lui 7?
Explicație: 7 · 1 = 7.